解答题
13.已知fn(x)满足fn'(x)=fn(x)+xn－1ex(n为正整数)，且
求函数项级数
求函数项级数
【正确答案】由题设条件知，函数fn(x)满足一阶线性非齐次微分方程
fn'(x)－fn(x)=xn－1ex，
其通解为
由条件
记
容易求出其收敛域为[－1，1)，且S(0)=0，当x∈(－1，1)时，求导得
于是得S(x)=S(0)+∫0xS'(t)dt=
=－ln(1－x)
由S(x)=－1n(1－x)在x=－1处的连续性知，上述和函数在x=－1处也成立．于是，当－1≤x＜1时，有
fn'(x)－fn(x)=xn－1ex，
其通解为
由条件
记
容易求出其收敛域为[－1，1)，且S(0)=0，当x∈(－1，1)时，求导得
于是得S(x)=S(0)+∫0xS'(t)dt=
=－ln(1－x)由S(x)=－1n(1－x)在x=－1处的连续性知，上述和函数在x=－1处也成立．于是，当－1≤x＜1时，有
【答案解析】