单选题 下列命题正确的是
  • A.如果f(x)在x=x0处不可导，则f(x)在x=x0处不连续．
  • B.如果f'(x0)=0，则f(x0)必是极值点．
  • C.如果f'(x)在x=x0处连续，则必存在δ＞0，当x∈Uδ(x0)时f(x)连续．
  • D.如果f'(x0)≠0，则f"(x0)必不为零．
【正确答案】 C
【答案解析】[解析] 由于f'(x)在x=x0处连续，所以存在δ＞0，当x∈Uδ(x0)时f'(x)均存在．由f'(x)存在推知在Uδ(x0)内f(x)连续．(C)正确．
[评注] 可以举例说明(A)、(B)、(D)均不正确．
(A)的反例：[*]，f'(0)不存在，但f(x)在x=0处连续．请读者注意：若f'(x)在x=x0处可导，则f(x)在x=x0处必连续，不连续必不可导．但不能推出不可导必不连续．
(B)的反例：f(x)=x3，f'(0)=0，但x=0不是f(x)的极值点．
(D)的反例：f(x)=sinx，f'(x)=cosx，f"(x)=-sinx．f'(0)=1≠0，但f"(0)=0．