解答题
12.[2005年] 已知三阶矩阵A的第1行是(a，b，c)，a，b，c不全为零，矩阵B=
【正确答案】对题设AB=O要有两种思路：一是秩（A）+秩（B）≤n；另一是B的列向量都是AX=0的解向量，据此可得到下列解法．
(1)如k≠9，则秩（B）=2，因而由秩（A）+秩（B）≤3得到秩（A）≤1．显然秩（A）≥1，故秩（A）=1，于是AX=0的一个基础解系含n一秩（A）=3—1=2个解向量．由AB=0知α1=[1，2，3]T，α2=[3，6，k]T为AX=0的两个线性无关的解向量，于是其通解为k1α1+k2α2=k1[1，2，3]T+k2[3，6，k]T，k1，k2为任意两个常数．
(2)如k=9，则秩（B）=1，于是秩（A）≤3一秩（B）=2．因而秩（A）=1或秩（A）=2．
当秩（A）=1时，则A的第2，3两行均与第1行成比例，故Ax=0的等价方程组为ax1+bx2+cx3=0，不妨设c≠0，则
(1)如k≠9，则秩（B）=2，因而由秩（A）+秩（B）≤3得到秩（A）≤1．显然秩（A）≥1，故秩（A）=1，于是AX=0的一个基础解系含n一秩（A）=3—1=2个解向量．由AB=0知α1=[1，2，3]T，α2=[3，6，k]T为AX=0的两个线性无关的解向量，于是其通解为k1α1+k2α2=k1[1，2，3]T+k2[3，6，k]T，k1，k2为任意两个常数．
(2)如k=9，则秩（B）=1，于是秩（A）≤3一秩（B）=2．因而秩（A）=1或秩（A）=2．
当秩（A）=1时，则A的第2，3两行均与第1行成比例，故Ax=0的等价方程组为ax1+bx2+cx3=0，不妨设c≠0，则
【答案解析】