【答案解析】[证] 若A是正定阵，A是对称阵，易知A^*是对称阵．
   方法一：  用定义证明．
   由AA^*=A^*A=|A|E知A^*=|A|A^-1，
   已知A正定，故有|A|＞0，且对任何y≠0，恒有y^TAy＞0，于是
   x^TA^*x=x^T|A|A^-1x=|A|x^TA^-1x=|A|x^TA^-1AA^-1x
   =|A|(A^-1x)^TA(A^-1x)，
   因为A可逆，当x≠0时，y=A^-1x≠0，从而有对任何x≠0，
   x^TA^*x=|A|y^TAy＞0．
   根据定义知，A^*是正定矩阵．
   方法二：  利用A正定A的全部特征值大于零．
   设A的特征值为λ₁，λ₂，…，λ_n，由A正定知λ_i＞0，(i=1，2，…，n)且|A|＞0，又A^*的特征值为：即A^*的全部特征值大于零，故A^*是正定矩阵．
   方法三：  A正定存在可逆矩阵C，使得A=C^TC．
   由A正定知，|A|＞0，且存在可逆矩阵C，使A=C^TC，于是
   
   其中