解答题
27.[2007年] 设f(x)是区间[0，π／4]上的单调可导函数，且满足
∫0f(x)f-1(t)dt=∫0xt
∫0f(x)f-1(t)dt=∫0xt
【正确答案】 在所给方程两边对x求导，利用f[f-1(x)]=x，得到关于．f′的方程，求解此微分方程即可求出f(x)．
在所给等式两边对x求导，得到
f-1[f(x)]f′(x)=x
， 即 xf′(x)=x
两边积分得到
f(x)=
=ln∣sinx+cosx∣+C， ①
其中x∈[0，π／4]．在原式中令x=0，得到∫0f(0)f-1(t)dt=∫00t
在所给等式两边对x求导，得到
f-1[f(x)]f′(x)=x
， 即 xf′(x)=x两边积分得到f(x)=
=ln∣sinx+cosx∣+C， ①其中x∈[0，π／4]．在原式中令x=0，得到∫0f(0)f-1(t)dt=∫00t
【答案解析】