解答题
21.已知y*(x)=xe—x+e—2x，y*(x)=xe—x+xe—2x，y*(x)=xe—x+e—2x+xe—2x是某二阶线性常系数微分方程y"+py'+qy=f(x)的三个特解．
(Ⅰ)求这个方程和它的通解；
(Ⅱ)设y=y(x)是该方程满足y(0)=0，y'(0)=0的特解，求∫0+∞y(x)dx.
(Ⅰ)求这个方程和它的通解；
(Ⅱ)设y=y(x)是该方程满足y(0)=0，y'(0)=0的特解，求∫0+∞y(x)dx.
【正确答案】(Ⅰ)由线性方程解的叠加原理→
y1(x)=y3*(x)一y2*(x)=e—2x，y2(x)=y3*(x)一y1*(x)=xe—2x
均是相应的齐次方程的解，它们是线性无关的．于是该齐次方程的特征根是重根A=一2相应的特征方程为
(A+2)2=0，即λ2+4λ+4=0．
原方程为 y"+4y'+4y=f(x)． ①
由于y'(x)=xe—x是它的特解，求导得
y*'(x)=e—x(1一x)，y*'(x)=e—x(x一2)．
代入方程①得e—x(x一2)+4e—x(1一x)+4xe—x=f(x)
→ f(x)=(x+2)e—x
→原方程为y"+4y'+4y=(x+2)e—x，其通解为
y=C1e—2x+C2xe—2x+xe—x，其中C1，C2为
常数．
不必由初值来定C1，C2，直接将方程两边积分得
y1(x)=y3*(x)一y2*(x)=e—2x，y2(x)=y3*(x)一y1*(x)=xe—2x
均是相应的齐次方程的解，它们是线性无关的．于是该齐次方程的特征根是重根A=一2相应的特征方程为
(A+2)2=0，即λ2+4λ+4=0．
原方程为 y"+4y'+4y=f(x)． ①
由于y'(x)=xe—x是它的特解，求导得
y*'(x)=e—x(1一x)，y*'(x)=e—x(x一2)．
代入方程①得e—x(x一2)+4e—x(1一x)+4xe—x=f(x)
→ f(x)=(x+2)e—x
→原方程为y"+4y'+4y=(x+2)e—x，其通解为
y=C1e—2x+C2xe—2x+xe—x，其中C1，C2为
常数．不必由初值来定C1，C2，直接将方程两边积分得
【答案解析】