单选题
设A，B是n阶实对称可逆矩阵，则存在n阶可逆阵P，使得下列关系式
①PA=B； ②P
－1
ABP=BA； ③P
－1
AP=B； ④P
T
A
2
P=B
2
成立的个数是 ( )
【正确答案】
C
【答案解析】解析：逐个分析关系式是否成立． ①式成立．因为A，B均是N阶可逆矩阵，故存在可逆矩阵Q，w，使QA=E，WB=E(可逆矩阵可通过初等行变换化为单位矩阵)，故有QA=WB，W
－1
QA=B．记W
－1
Q=P，则有PA=B成立，故①式成立． ②式成立．因为A，B均是n阶可逆矩阵，可取P=A，则有A
－1
(AB)A=(A
－1
A)BA=BA，故②式成立． ③式不成立．因为A，B均是n阶实对称矩阵，它们均可以相似于对角阵，但不一定相似于同一个对角阵，即A，B不一定相似．例如
(均满足题设的实对称可逆阵的要求)， 但对任意可逆阵P，均有P
－1
AP=P
－1
EP=E≠B，故③式不成立． ④式成立．因为A，B均是实对称可逆矩阵，其特征值均不为零，A
2
，B
2
的特征值均大于零．故A
2
，B
2
的正惯性指数为n(秩为n，负惯性指数为0)，故A
2
(均满足题设的实对称可逆阵的要求)， 但对任意可逆阵P，均有P
－1
AP=P
－1
EP=E≠B，故③式不成立． ④式成立．因为A，B均是实对称可逆矩阵，其特征值均不为零，A
2
，B
2
的特征值均大于零．故A
2
，B
2
的正惯性指数为n(秩为n，负惯性指数为0)，故A
2