问答题
设α
1
=(1，2，0)
T
，α
2
=(1，a+2，-3a)
T
，α
3
=(-1，-b-2，a+2b)
T
，β=(1，3，-3)
T
，试讨论当a，b为何值时：
(1)β不能由α 1 ，α 2 ，α 3 线性表示；
(2)β可由α 1 ，α 2 ，α 3 唯一地线性表示，并求出表示式；
(3)β可由α 1 ，α 2 ，α 3 线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式．
(1)β不能由α 1 ，α 2 ，α 3 线性表示；
(2)β可由α 1 ，α 2 ，α 3 唯一地线性表示，并求出表示式；
(3)β可由α 1 ，α 2 ，α 3 线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式．
【正确答案】
【答案解析】设存在数k
1
，k
2
，k
3
，使得
k 1 α 1 +k 2 α 2 +k 3 α 3 =β． ①
记A=(α 1 ，α 2 ，α 3 )．对矩阵(A，β)施以初等行变换，有
(1)当a=0时，有
可知r(A)≠r(A，β)．故方程组①无解，β不能由α 1 ，α 2 ，α 3 线性表示．
(2)当a≠0，且a≠b时，有
r(A)=r(A，β)=3，方程组①有唯一解：
此时β可由α 1 ，α 2 ，α 3 唯一地线性表示，其表示式为
(3)当a=b≠0时，对矩阵(A，β)施以初等行变换，有
r(A)=r(A，β)=2，方程组①有无穷多解，其全部解为
其中c为任意常数．
β可由α 1 ，α 2 ，α 3 线性表示，但表示式不唯一，其表示式为
k 1 α 1 +k 2 α 2 +k 3 α 3 =β． ①
记A=(α 1 ，α 2 ，α 3 )．对矩阵(A，β)施以初等行变换，有
(1)当a=0时，有
可知r(A)≠r(A，β)．故方程组①无解，β不能由α 1 ，α 2 ，α 3 线性表示．
(2)当a≠0，且a≠b时，有
r(A)=r(A，β)=3，方程组①有唯一解：
此时β可由α 1 ，α 2 ，α 3 唯一地线性表示，其表示式为
(3)当a=b≠0时，对矩阵(A，β)施以初等行变换，有
r(A)=r(A，β)=2，方程组①有无穷多解，其全部解为
其中c为任意常数．
β可由α 1 ，α 2 ，α 3 线性表示，但表示式不唯一，其表示式为