解答题
7.[2003年]将函数f(x)=
展开成x的幂级数，并求级数
展开成x的幂级数，并求级数
【正确答案】因为
又f(0)=π／4，所以
f(x)=f(0)+∫0xf'(t)dt
①
因级数
收敛(用莱布尼茨判别法判别)，故积分后所得级数①在端点x=1／2处收敛(在端点x=1／2处收敛性变好了)．因而
令x=1／2，代入级数②得
又
，由式③得
又f(0)=π／4，所以
f(x)=f(0)+∫0xf'(t)dt
①因级数
收敛(用莱布尼茨判别法判别)，故积分后所得级数①在端点x=1／2处收敛(在端点x=1／2处收敛性变好了)．因而令x=1／2，代入级数②得
又
，由式③得【答案解析】