【正确答案】 B

【答案解析】第①组．用配方法． ， 故A的秩为3，正惯性指数为2． ， 故B的秩为2，正惯性指数为2． 因r(A)≠r(B)，所以A与B不合同． 第②组．f(x1，x2，x3)=xTAx与g(y1，y2，y3)=yTBy的矩阵分别为对角矩阵 有r(A)=r(B)，A的正惯性指数等于B的正惯性指数．所以A与B合同． 第③组．f(x1，x2，x3)=xTAx的矩阵为 所以A的秩为3，正惯性指数为3． 又， 故B的秩为3，正惯性指数为2． 因A的正惯性指数不等于B的正惯性指数，所以A与B不合同． 综上所述，只有第②组二次型矩阵合同．选B． 本题为了判别第①组、第③组二次型的矩阵是否合同，在计算矩阵的正惯性指数时，都采用了配方法化二次型为标准形，而没有利用求矩阵的特征值的方法．其实后者也是简便的，比如第③组的的矩阵 因， 故B的秩为3，正惯性指数为2，可推出相同结论． 本题第②组的矩阵A与B合同是用判别法判定的．能否找出可逆矩阵C，使得CTAC=B?回答是肯定的．具体如下： 令 x1=y2，x2=y3，x3=y1， (*) 则 将(*)改写成矩阵形式， 并将该式记为x=Cy，则|C|=1≠0，故C为可逆矩阵，且有 f(x1，x2，x3)=xTAx=(Cy)TACy=yT(CTAC)y=yTBy， 所以CTAC=B，故所求的可逆矩阵为 为强调这个方法，读者不妨再做下面这个题目： 例 设3阶实对称矩阵， 其中k1，k2，k3均为大于0的任意常数．证明A与B合同．并求可逆矩阵C，使得CTAC=B． 证：A所对应的二次型为 作线性变换，， 则 将线性变换改写成矩阵形式， 并将该式记为x=Cy，则，所以C为可逆矩阵，且CTAC=B，所以矩阵A与B合同，且所求的可逆矩阵为