问答题
(Ⅰ)设f(x)在(0，+∞)可导，f′(x)＞0(x∈(0，+∞))，求证f(x)在(0，+∞)单调上升．
(Ⅱ)求证：f(x)=
在(0，+∞)单调上升，其中n为正数．
(Ⅲ)设数列x
n
=
在(0，+∞)单调上升，其中n为正数．
(Ⅲ)设数列x
n
=
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)对
0＜x
1
＜x
2
＜+∞，在[x
1
，x
2
]上可用拉格朗日中值定理得，
ξ∈ (x
1
，x
2
)
(0，+∞)使得 f(x
2
)—f(x
1
)=f′(ξ)(x
2
—x
1
)＞0 f(x
2
)＞f(x
1
) f(x)在(0，+∞)↗ (Ⅱ)令g(x)=ln(x)=
(x＞0)，考察 g′(x)=
=0。(x＞0) g(x)在(0，+∞)↗→ f(x)=e
g(x)
在(0，+∞)↗． (Ⅲ)用(Ⅱ)的结论对x
n
进行适当放大与缩小
0＜x
1
＜x
2
＜+∞，在[x
1
，x
2
]上可用拉格朗日中值定理得，
ξ∈ (x
1
，x
2
)
(0，+∞)使得 f(x
2
)—f(x
1
)=f′(ξ)(x
2
—x
1
)＞0 f(x
2
)＞f(x
1
) f(x)在(0，+∞)↗ (Ⅱ)令g(x)=ln(x)=
(x＞0)，考察 g′(x)=
=0。(x＞0) g(x)在(0，+∞)↗→ f(x)=e
g(x)
在(0，+∞)↗． (Ⅲ)用(Ⅱ)的结论对x
n
进行适当放大与缩小
【答案解析】