问答题
设矩阵A=(α
1
，α
2
，α
3
)，线性方程组Ax=β的通解是(1,-2,0)
T
+k(2,1,1)
T
，k为任意实数，若B=(α
1
，α
2
，α
3
，β-5α
3
)，求方程组By=β+α
3
的通解．
【正确答案】
【答案解析】由方程组Ax=β的通解，知
即α 1 -2α 2 =β，2α 1 +α 2 +α 3 =0，且n-r(A)=1，即r(A)=r(α 1 ，α 2 ，α 3 )=3-1=2，则
r(B)=r(α 1 ，α 2 ，α 3 ，β-5α 3 )=r(α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 1 -2α 2 -5α 3 )=r(α 1 ，α 2 ，α 3 )=2．
因此，四元方程组By=β+α 3 的通解形式为α+k 1 η 1 +k 2 η 2 ．
由
知
是By=β+α
3
的一个解．
又由
知
即α 1 -2α 2 =β，2α 1 +α 2 +α 3 =0，且n-r(A)=1，即r(A)=r(α 1 ，α 2 ，α 3 )=3-1=2，则
r(B)=r(α 1 ，α 2 ，α 3 ，β-5α 3 )=r(α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 1 -2α 2 -5α 3 )=r(α 1 ，α 2 ，α 3 )=2．
因此，四元方程组By=β+α 3 的通解形式为α+k 1 η 1 +k 2 η 2 ．
由
知
是By=β+α
3
的一个解．
又由
知