问答题 设随机过程x(t;a,b)=acosωot+bsinωot(t≥0),其中ωo为常数,a、b是相互统计独立的随机变量,且a~N(0,σ2),b~N(0,σ2)。试求x(t;a,b)的均值,自相关函数和自协方差函数;判断x(t;a,b)是否是平稳随机过程。
【正确答案】在t≥O的范围内,x(t;a,b)的均值为
   μx(t)=E[x(t;a,b)]=E[acosωot+bsinωot]
   =E(a)cosωot+E(b)sinωot=0,t≥0
  x(t; a,b)(t≥0)的自相关函数为
   rx(tj,tk)=E[x(tj;a,b)x(tk;a,b)]
   = E[(acosωotj+bsinωotj)(acosωotk+bsinωotk)]
   =E[a2cosωotjcosωotk+abcosωotksinωotk+absinωotjcosωotk+b2sinωotjsinωotk]
   =σ2cosωotjcosωotk2sinωotjsinωotk
   =σ2cosωo(tk-tj)
   =σ2cosωoτ,  τ=tk-tj,  tj≥0,  tk≥0
   因为μx(t)=0,所以x(t;a,b)的协方差函数为
    cx(tj,tk)=rx(tj,tk)=σ2cosωoτ,τ=tk-tj,tj≥0,tk≥0
   在t≥0范围内,x(t;a,b)满足广义平稳随机过程的条件,所以x(t;a,b)是平稳的随机过程。
【答案解析】