问答题
设f(x)=a
1
sinx+a
2
sin2x+…+a
n
sinnx，且|f(x)|≤|sinx|，a
1
，a
2
，…，a
n
为实常数，试证：
|a 1 +2a 2 +…+na n |≤1．
|a 1 +2a 2 +…+na n |≤1．
【正确答案】
【答案解析】[证]f(x)=a
1
sinx+a
2
sin2x+…+a
n
sinnx，f(0)=0，
f"(x)=a 1 cosx+2a 2 cos2x+…+na n cosnx．
显然f(x)在[0，x]或[x，0]上满足拉格朗日定理的条件，于是有f(x)-f(0)=f"(ξ)x，ξ在0与x之间．
因此，|f(x)|=|x||f"(ξ)|
=|x||a 1 cosξ+2a 2 cos2ξ+…+na n cosnξ|，
即
两边取x→0的极限，因为ξ在0与x之间，所以当x→0时，ξ→0，故
f"(x)=a 1 cosx+2a 2 cos2x+…+na n cosnx．
显然f(x)在[0，x]或[x，0]上满足拉格朗日定理的条件，于是有f(x)-f(0)=f"(ξ)x，ξ在0与x之间．
因此，|f(x)|=|x||f"(ξ)|
=|x||a 1 cosξ+2a 2 cos2ξ+…+na n cosnξ|，
即
两边取x→0的极限，因为ξ在0与x之间，所以当x→0时，ξ→0，故