问答题求下列函数的极值．

问答题 y=e^xcosx

【正确答案】y'=e^xcosx-e^xsinx=e^x(cosx-sinx)，令y'=0得x=kπ+[*]．
又y"=-2e^xsinx，当[*]时，[*]，函数有极大值
[*]
当[*]时，[*]，函数有极小值
[*]

【答案解析】

问答题．

【正确答案】[*]，令f'(x)=0，得驻点x=1，不可导点x=0．列表讨论(见下表)．

x	(-∞，0)	0	(0，1)	1	(1，+∞)
f’(z)	+		-	0	+
l厂(z)	[*]	极大值点	[*]	极小值点	[*]

故极大值f(0)=0，极小值[*]．

【答案解析】

问答题试证明：如果函数y=ax³+bx²+cx+d满足条件b²-3ac＜0，那么这个函数没有极值．

【正确答案】证明：因y'=3ax²+2bx+c，要使可导函数没有极值，必使y'=0恒不成立．
即使3ax²+2bx+c=0没有实数解，从而必须使一元二次方程的判别式Δ=(26)²-4·3ac＜0即b²-3ac＜0．

【答案解析】

问答题试问a为何值时，函数f(x)=asinx+

sin3x在

【正确答案】f'(x)=acosx+cos3x，当[*]时，f'(x)=0，得acos[*]+cosπ=0，从而a=2．又f"(x)=-asinx-3sin3x，[*]，所以有极大值[*][*]

【答案解析】

问答题问函数y=x²-

【正确答案】[*]，令y'=0得x=-3．又[*]．所以在x=-3时y有最小值，其值为27．

【答案解析】

问答题求函数f(x)=

【正确答案】由[*]得驻点x=-2，不可导点x=-5，x=1．而f(-3)=4，f(-2)=[*]，f(1)=0，f(3)=[*]．所以最大值是f(3)=[*]，最小值是f(1)=0．

【答案解析】

问答题求函数y=x²e^-x的凹凸区间和拐点．

【正确答案】因为y'=2xe^-x-x²e^-x=e^-x(2x-x²)
y"=e^-x(2x-x²)+e^-x(2-2x)=e^-x(x²-4x+2)
令y"=0解得[*]．易判定[*]都是拐点．
凹区间是(-∞，2-[*])∪(2+[*]，+∞)，凸区间是(2-[*]，2+[*])．

【答案解析】

问答题描绘函数y=e^-x²的图形．

【正确答案】对于[*]
(1)定义域为R．
(2)易知其为偶函数，图像关于y轴对称，且有
y'=-2xe^-x²，y"=(4x²-2)e^-x²
令y'=0，得x₁=0；
令y"=0，得[*]．因此没有使y'，y"不存在的点．
(3)讨论函数的性质，如下表所示．

x	[*]	[*]	[*]	0	[*]	[*]	[*]
x	[*]	[*]	[*]	0	[*]	[*]	[*]
f'(x)	+	+	+	0	-	-	-
f"(x)	+	0	-	-	-	0	+
f(x)	[*]	拐点	[*]	极大值点	[*]	拐点	[*]

可见，有两个拐点[*]≈(-0.7，0.6)，[*]≈(0.7，0.6)．一个极大值点(0，1)．
(4)因[*]，所以有水平渐近线y=0．

【答案解析】

问答题求极限

【正确答案】[*]

【答案解析】

问答题某工厂每天生产x支产品的总成本为C(x)=

【正确答案】设利润为L(x)，[*]，则
L(x)=px-C(x)=[*]x²+32x-75
求导得L'(x)=[*]+32，令L'(x)=0，得[*]+32=0，x=36，从而[*]．
又L"(x)=[*]＜0，所以当每天生产36支时，获利润最大，此时每支售价为13元．

【答案解析】

问答题设计一个容积为Vm³的圆柱形无盖容器，已知每平方米侧面材料的价格是底面材料价格的1.5倍，问容器的底半径r与高h为多少时，材料总造价y最小?

【正确答案】在不影响问题解答的前提下，不妨设底面材料价格为1个单位．则
y=πr²+2πrh·1.5
由于V=πr²h，得[*]，代入上式得y=πr²+[*]．
求导得y'=2πr-[*]，令y'=0，解得3V=2πr³．联立V=πr²h。两式相比得[*]．
又因[*]，所以函数y有极小值．进一步求出[*]．

【答案解析】

问答题欲围造一个面积为15000m²的长方形运动场，其正面围墙材料造价为600元/m²，其余三面围墙材料造价为300元/m²，试问正面长为多少米才能使材料费最少(设围墙的高相同)?

【正确答案】设运动场正面围墙长为xm，则宽为[*]m．四面围墙的高记为hm，四面围墙所用材料费用f(x)来表示，则
[*]
令f'(x)=0，所以x₁=100m，x₂=-100m(舍)．
[*]
因为f"(100)＞0，由于驻点唯一，且存在最小值，可知x=100m，侧面长为150m时，所用材料费最小．

【答案解析】

问答题由拉格朗日中值定理有f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)，其中a＜ξ＜b．讨论求

【正确答案】[*]可能存在，也可能不存在．在f"(x)在x=a连续的条件下，有[*]=f"(a)．错误解法：由拉格朗日中值定理知，存在(a，b)内的ξ，所以当b→a时，必有ξ→a，从而有 [*] 分析错因：上述推理实际上似定了f'(x)在x=a连续，此时才成立=[*]=f'(a)．但这个假定是拉格朗日中值定理的条件中所不具备的，所以不能推出这个结论．例如，函数 [*] 在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，满足拉格朗日中值定理的条件，但由定义可知f'(0)根本不存在，因而[*]不可能成立．

【答案解析】

问答题要产生因式f'(x)-λf(x)，如何拼凑?要产生因式λf'(x)-f(x)，如何拼凑?要产生因式λf'(x)+f(x)，又如何拼凑?

【正确答案】要产生因式f'(x)-λf(x)，只须用(f(x)e^-λx)'=(f'(x)-λf(x))e^-λx拼凑；要产生因式λf'(x)-f(x)，只须用[*]拼凑；要产生因式λf'(x)+f(x)，只须用[*]拼凑．

【答案解析】