解答题
设有3阶实对称矩阵A满足A3－6A2+11A－6E=0，且|A|=6．
问答题
41.写出用正交变换将二次型f=xT(A+E)x化成的标准形(不需求出所用的正交变换)；
【正确答案】设λ是A的特征值，x是A的关于λ所对应的特征向量，由A3－6A2+11A－6E=O得(λ3－6λ2+11λ
－6)x=0，由于x≠0，所以λ3－6λ2+11λ－6=0，得λ=1，2，3．由于|A|=6，所以λ1=1，λ2=2，λ3=3为A的三个特征值．由于A+E仍是对称矩阵，其特征值为2，3，4，故存在正交变换x=Py，使
f=xT(A+E)x=2y12+3y22+4y32．
【答案解析】
问答题
42.判断二次型f=xT(A+E)x的正定性．
【正确答案】由于f=xT(A+E)x的标准形的系数全为正，所以f=xT(A+E)x正定．
【答案解析】