问答题
求A=
【正确答案】正确答案：(1)特征值的计算 可按常规方法计算特征值：求出A的特征多项式，求其根得特征值……．但本题可利用特征值的性质很容易求出特征值． r(A)=1，tr(A)=4．利用特征值的性质直接可得到A的特征值为0,0，0，4． (不用性质，也可这样计算：r(A)=1，即r(A—0E)=1，于是0是A的特征值，并且其重数k≥4一r(A)=3．即A的4个特征值中至少有3个为0．于是第4个特征值为tr(A)=4．) (2)求特征向量 属于0的特征向量是AX=0的非零解．
AX=0和x
1
+x
2
+x
3
+x
4
=0同解．得AX=0的一个基础解系η
1
=(1，一1，0，0)
T
，η
2
=(1，0，一1，0)
T
，η
3
=(1，0，0，一1)
T
．属于0的特征向量的一般形式为 c
1
η
1
+c
2
η
2
+c
3
η
3
，c
1
，c
2
，c
3
不全为0． 属于4的特征向量是(A一4E)X=0的非零解．
得(A一4E)X=0的同解方程组
AX=0和x
1
+x
2
+x
3
+x
4
=0同解．得AX=0的一个基础解系η
1
=(1，一1，0，0)
T
，η
2
=(1，0，一1，0)
T
，η
3
=(1，0，0，一1)
T
．属于0的特征向量的一般形式为 c
1
η
1
+c
2
η
2
+c
3
η
3
，c
1
，c
2
，c
3
不全为0． 属于4的特征向量是(A一4E)X=0的非零解．
得(A一4E)X=0的同解方程组
【答案解析】