问答题
求函数z=f(x，y)=x
2
+y
2
-2x-4y在区域D={(x，y)|x
2
+y
2
≤20，y≥0}上的最大值和最小值．
【正确答案】
【答案解析】[解] 解方程组
得D内部的驻点(1，2)，且有f(1，2)=-5．
在D的边界
上，把y=0代入f(x，y)，得
z=x 2 -2x=(x-1) 2 -1
易知，该函数在
内有最小值-1，无最大值．
在D的边界
上，把
代入f(x，y)，得
令
，得x
1
=2，x
2
=-2．
由于
，该函数在
上有最大值
及最小值0，从而f(x，y)在D的边界上有最大值
及最小值-1．
综上所述，f(x，y)在D上的最大值为
，最小值为
得D内部的驻点(1，2)，且有f(1，2)=-5．
在D的边界
上，把y=0代入f(x，y)，得
z=x 2 -2x=(x-1) 2 -1
易知，该函数在
内有最小值-1，无最大值．
在D的边界
上，把
代入f(x，y)，得
令
，得x
1
=2，x
2
=-2．
由于
，该函数在
上有最大值
及最小值0，从而f(x，y)在D的边界上有最大值
及最小值-1．
综上所述，f(x，y)在D上的最大值为
，最小值为