【正确答案】(Ⅰ)首先，因为矩阵A-6E不可逆，所以λ＝6是矩阵A的一个特征值；其次，因为是齐次线性方程组Ax＝0的基础解系，所以λ＝0是矩阵A的二重特征值，所以A的特征值为0，0，6。齐次线性方程组(A-6E)x＝0的通解是矩阵A的属于特征值λ＝6的特征向量。因为A为3阶实对称矩阵，从而属于不同特征值的特征向量正交。设是矩阵A的属于特征值λ＝6的一个特征向量，则解得,所以齐次线性方程组(A-6E)x＝0的通解为为任意常数。
（Ⅱ）下面将向量组正交化。令

下面将向量组β₁β₂β₃单位化。令

令

则二次型x^TAx在正交变换x＝Qy，下的标准形为
（Ⅲ）

所以

【答案解析】本题考点较为综合，包括特征值的定义、基础解系所含向量个数与系数矩阵秩之间的关系、实对称矩阵特征向量的正交性、矩阵的相似对角化以及方阵的幂的计算。