解答题
8.设A=
，且存在正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵。若Q的第一列为
，且存在正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵。若Q的第一列为
【正确答案】按已知条件，(1，2，1)T是矩阵A的特征向量，设特征值是λ1=1，那么
又因为 |λE—A|=
=(λ一2)(λ一5)(λ+4)，
知矩阵A的特征值是2，5，一4。
对λ=5，由(5E—A)x=0得基础解系α2=(1，一1，1)T。
对λ=一4，由(一4E一A)x=0得基础解系α3=(一1，0，1)T。
因为A是实对称矩阵，对应于不同特征值的特征向量相互正交，故只需单位化α2，α3，即
γ2=
(1，一1，1)T，γ3=
(一1，0，1)T，
令Q=
，则有QTAQ=Q-1AQ=
又因为 |λE—A|=
=(λ一2)(λ一5)(λ+4)，知矩阵A的特征值是2，5，一4。
对λ=5，由(5E—A)x=0得基础解系α2=(1，一1，1)T。
对λ=一4，由(一4E一A)x=0得基础解系α3=(一1，0，1)T。
因为A是实对称矩阵，对应于不同特征值的特征向量相互正交，故只需单位化α2，α3，即
γ2=
(1，一1，1)T，γ3=(一1，0，1)T，令Q=
，则有QTAQ=Q-1AQ=【答案解析】