问答题
设f(x)，g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0，f'(x)≥0，g'(x)≥0．证明：对任何a∈[0，1]，有
【正确答案】正确答案：令
则 F'(a)=g(a)f'(a)一f'(a)g(1)=f'(a)[g(a)一g(1)]． 因为x∈[0，1]时，f'(x)≥0，g'(x)≥0，即函数f(x)，g(x)在[0，1]上单调递增，又a≤1，所以 F'(a)=f'(a)[g(a)一g(1)]≤0， 即函数F(a)在[0，1]上单调递减，又
所以F(a)≥F(1)=0，即
即
则 F'(a)=g(a)f'(a)一f'(a)g(1)=f'(a)[g(a)一g(1)]． 因为x∈[0，1]时，f'(x)≥0，g'(x)≥0，即函数f(x)，g(x)在[0，1]上单调递增，又a≤1，所以 F'(a)=f'(a)[g(a)一g(1)]≤0， 即函数F(a)在[0，1]上单调递减，又所以F(a)≥F(1)=0，即即【答案解析】