问答题
设二次方程x
2
—Xx+Y=0的两个根相互独立，且都在(0，2)上服从均匀分布，分别求X与Y的概率密度．
【正确答案】正确答案：设二次方程的两个根为X
1
，X
2
，则它们的概率密度都为f(x)=
记X的概率密度为f
X
(x)，则由X=X
1
+X
2
得f
X
(x)=∫
-∞
+∞
f(t)f(x-t)dt，其中f(t)f(x一t)=
即f(t)f(x一t)仅在如图3—13所示的带阴影的平行四边形中取值为
在tOx平面的其余部分取值为0．因此， 当x＜0或x＞4时，f
X
(x)=0； 当0≤x＜2时，f
X
(x)=
当2≤x≤4时，f
X
(x)=
记Y的概率密度为f
Y
(y)，则由Y=X
1
X
2
得
在如图3—14所示阴影部分中取值为
在tOy平面的其余部分取值都为0．因此， 当y≤0或y≥4时，f
Y
(y)=0； 当0＜y＜4时，
记X的概率密度为f
X
(x)，则由X=X
1
+X
2
得f
X
(x)=∫
-∞
+∞
f(t)f(x-t)dt，其中f(t)f(x一t)=
即f(t)f(x一t)仅在如图3—13所示的带阴影的平行四边形中取值为
在tOx平面的其余部分取值为0．因此， 当x＜0或x＞4时，f
X
(x)=0； 当0≤x＜2时，f
X
(x)=
当2≤x≤4时，f
X
(x)=
记Y的概率密度为f
Y
(y)，则由Y=X
1
X
2
得
在如图3—14所示阴影部分中取值为
在tOy平面的其余部分取值都为0．因此， 当y≤0或y≥4时，f
Y
(y)=0； 当0＜y＜4时，
【答案解析】