解答题
15.[2001年] 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的．假设每箱平均重50 kg，标准差为5 kg，若用最大载重量为5 t的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可装多少箱，才能保证不超载的概率大于0．977．(ф(2)=0．977，其中ф(x)是标准正态分布函数．)
【正确答案】设Xi(i=1，2，…，n)是装运的第i箱的重量(单位：kg)，所求箱数为n．由题设知X1，X2，…，Xn为独立同分布的随机变量，而n箱的重量为Sn=X1+X2+…+Xn，是n个独立同分布的随机变量之和．由题设知E(X1)=50，
， 于是 D(Xi)=25=σ2．又
E(Sn)=50n，
即 D(Sn)=25n．
根据列维一林德伯格中心极限定理，Sn近似服从正态分布，且有Sn
N(50n，25n)．于是
因而
．令
，代入不等式中得到10x2+2x一1000≤0，化为
因x≥0，故
，于是
， 于是 D(Xi)=25=σ2．又E(Sn)=50n，
即 D(Sn)=25n．根据列维一林德伯格中心极限定理，Sn近似服从正态分布，且有Sn
N(50n，25n)．于是因而
．令，代入不等式中得到10x2+2x一1000≤0，化为因x≥0，故
，于是【答案解析】