【正确答案】[证明]设f₀是赋范空间X的子空间E上的有界线性泛函．由题设，其保范延拓不唯一．不妨设f₁，f₂∈X^*是f₀的保范延拓，f₁≠f₂．记f_α=αf₁+(1-α)f₂，α∈(0，1)．则f_α是X上的线性泛函，且对任意x∈E有
   f_α(x)=αf₁(x)+(1-α)f₂(x)=αf₀(x)+(1-α)f₀(x)=f₀(x)即每个f_α都是f₀的延拓，显然应有‖f_α‖≥‖f₀‖．又由于对每个x∈X，有
   |f_α(x)|≤[α‖f₁‖+(1-α)‖f₂]‖x‖
   =[α‖f₀‖+(1-α)‖f₀‖]‖x‖
   =‖f₀‖‖x‖即‖f_α‖≤‖f₀‖，故‖f_α‖=_‖f₀‖，f_α∈X^*是f₀的保范延拓．因为f₁≠f₂，故a。≠d：时有^．≠fo。(否则由d。f，+(1一a。)fz—azf，+(1一az)f2导致(a·一0：2)(f₁-f₂)=θ的矛盾)．因此由{f_α：α∈(0，1)}的势是连续统的势可知f₀的所有保范延拓的势不小于连续统的势．