解答题
22.
设A=E一ξξ
T
，其中E是n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξ
T
是ξ的转置．证明：A
2
=A的充要条件是ξ
T
ξ=1.
【正确答案】
A
2
=(E一ξξ
T
)(E一ξξ
T
)=E一2ξξ
T
+ξξ
T
ξξ
T
=E一2ξξ
T
+(ξξ
T
)ξξ
T
． ①
如果A
2
=A，则E一2ξξ
T
+(ξξ
T
)ξξ
T
=E一ξξ
T
，即ξξ
T
(1一ξξ
T
)=O．因ξ≠0，故ξξ
T
≠O．因而1一ξ
T
ξ=0，即ξ
T
ξ=1．
反之，如果ξ
T
ξ=1，则由式①有A
2
=E一2ξξ
T
+ξξ
T
=E一ξξ
T
=A．
【答案解析】
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