解答题
设f(x)=a1sinx+a2sin2x+…+ansinnx，且|f(x)|≤|sinx|，a1，a2，…，an为实常数，试证：
|a1+2a2+…+nan|≤1．
|a1+2a2+…+nan|≤1．
【正确答案】
【答案解析】[证] f(x)=a1sinx+a2sin2x+…+ansinnx，f(0)=0，
f'(x)=a1cosx+2a2cos2x+…+nancosnx．
显然f(x)在[0，x]或[x，0]上满足拉格朗日定理的条件，于是有
f(x)-f(0)=f'(ξ)x，ξ在0与x之间．
因此 |f(x)|=|x||f'(ξ)|
=|x||a1cosξ+2a2cos2ξ+…+nancosnξ|，
两边取x→0的极限，因为ξ在0与x之间，所以当x→0时，ξ→0，故
f'(x)=a1cosx+2a2cos2x+…+nancosnx．
显然f(x)在[0，x]或[x，0]上满足拉格朗日定理的条件，于是有
f(x)-f(0)=f'(ξ)x，ξ在0与x之间．
因此 |f(x)|=|x||f'(ξ)|
=|x||a1cosξ+2a2cos2ξ+…+nancosnξ|，
两边取x→0的极限，因为ξ在0与x之间，所以当x→0时，ξ→0，故