问答题设f(x)在[0，1]上连续，且满足f(0)=1，f'(x)=f(x)+ax-a，求f(x)，并求a的值，使曲线y=f(x)与x=0，y=0，x=1所围平面图形绕x轴旋转一周所得体积最小．

【正确答案】解：方程f'(x)=f(x)+ax-a可以改写为f'(x)-f(x)=ax-a．
则[*]
由f(0)=1得C=1，所以f(x)=e^x-ax．
旋转体的体积为
[*]
令[*]，解得驻点a=3．
又[*]，知当a=3时，V_x取最小值．
即a=3时，所求旋转体体积最小，此时f(x)=e^x-3x．

【答案解析】[考点] 一阶微分方程、旋转体体积与函数的最值． [解析] 先解一阶微分方程，再求旋转体的体积，最后求最值即可．求解一阶线性微分方程y'+p(x)y=q(x)时，不少同学将通解公式y=[*]错记为[*]，从而导致错误结果．