计算题
5.假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是
p1=18－2Q1，p2=12－Q2，
其中p1和p2分别表示该产品在两个市场的价格(单位：万元／吨)；Q1和Q2分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量，单位：吨)，并且该企业生产这种产品的总成本函数是
C=2Q+5，
其中Q表示该产品在两个市场的销售总量，即Q=Q1+Q2．
(1)如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；
(2)如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格，使该企业获得的总利润最大，并比较这两种价格策略下的总利润大小．
p1=18－2Q1，p2=12－Q2，
其中p1和p2分别表示该产品在两个市场的价格(单位：万元／吨)；Q1和Q2分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量，单位：吨)，并且该企业生产这种产品的总成本函数是
C=2Q+5，
其中Q表示该产品在两个市场的销售总量，即Q=Q1+Q2．
(1)如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；
(2)如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格，使该企业获得的总利润最大，并比较这两种价格策略下的总利润大小．
【正确答案】该企业实行价格差别策略进行销售，则问题为无条件极值．而该企业实行价格无差别策略进行销售，即p1=p2，问题为条件极值．
(1)如果该企业实行价格差别策略，总利润函数为
L=R－C=p1Q1+p2Q2－(2Q+5)=－2Q12－Q22+16Q1+10Q2－5，
令
解得Q1=4，Q2=5，则p1=10，p2=7．
因驻点(4，5)唯一，且实际问题一定存在最大值，故最大值必在驻点处达到最大利润为
L=－2×42－52+16×4+10×5－5=52(万元)．
(2)若该企业实行价格无差别策略，则p1=p2，于是有约束条件18－2Q1=12－Q2，即
2Q1－Q2=6，
构造拉格朗日函数
L(Q1，Q2，λ)=－2Q12－Q22+16Q1+10Q2－5+λ(2Q1－Q2－6)．
令
(1)如果该企业实行价格差别策略，总利润函数为
L=R－C=p1Q1+p2Q2－(2Q+5)=－2Q12－Q22+16Q1+10Q2－5，
令
解得Q1=4，Q2=5，则p1=10，p2=7．
因驻点(4，5)唯一，且实际问题一定存在最大值，故最大值必在驻点处达到最大利润为
L=－2×42－52+16×4+10×5－5=52(万元)．
(2)若该企业实行价格无差别策略，则p1=p2，于是有约束条件18－2Q1=12－Q2，即
2Q1－Q2=6，
构造拉格朗日函数
L(Q1，Q2，λ)=－2Q12－Q22+16Q1+10Q2－5+λ(2Q1－Q2－6)．
令
【答案解析】