【正确答案】当x＞0时，令f′(x)=(x－x²)sin²ⁿx=0得x=1，x=kπ(k=1，2，…)，当0＜x＜1时，f′(x)＞0；当x＞1时，f′(x)≤0(除x=kπ(k=1，2，…)外f′(x)＜0)，于是x=1为f(x)的最大值点，f(x)的最大值为f(1)．因为当x≥0时，sinx≤x，所以当x∈[0，1]时，(x－x²)sin²ⁿx≤(x－x²)x²ⁿ=x²ⁿ⁺¹－x²ⁿ⁺²，
于是f(x)≤f(1)=∫₀¹(x－x²)sin²ⁿxdx
≤∫₀¹(x²ⁿ⁺¹－x²ⁿ⁺²)dx=