选择题
2.
[2016年] 设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是( )．
A、
A
T
与B
T
相似
B、
A
－1
与B
－1
相似
C、
A+A
T
与B+B
T
相似
D、
A+A
－1
与B+B
－1
相似
【正确答案】
C
【答案解析】
因A～B，故存在可逆矩阵P使得B=P
－1
AP． ①
在式①两边取转置，得到B
T
=(P
－1
AP)
T
=P
T
A
T
(P
－1
)
T
=[(PT)
－1
]
－1
A
T
[(P
T
)
－1
]
故A
T
与B
T
相似．选项(A)正确．
在式①两边求逆运算得到B
－1
=(P
－1
AP)
－1
=P
－1
A
－1
(P
－1
)
－1
=P
－1
A
－1
P． ②
故A与A
－1
相似．选项(B)正确．
由式①+式②得到B+B
－1
=P
－1
AP+P
－1
A
－1
P=P
－1
(A+A
－1
)P，故A+A
－1
～B+B
－1
．选项(D)正确．仅(C)入选．
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