问答题
设
【正确答案】(1) 当s＞n时，由于A的列向量组由s个n维向量组成，因此必定线性相在，即存在X=(x1，x2，…xs)T≠0使AX=(α1，α2，…αs)(x1，x2，…xs)T=x1α1+x2α2+…+xsαs=0
于是XTBX=XTAX=‖AX‖2=0与B为正定矩阵矛盾。
(2)若s=n，则A为n阶矩阵，而[*]0，故A为可逆矩阵，由B=ATA=ATEA，表明矩阵B与单位矩阵合同，故B为正定矩阵。
(3) 若s＜n，则A的前s行组成s个s维列向量，由范得蒙行列式知其线性无关，从而A的列向最组作为其延伸向量组仍然线性无关，对于任意的X=(x1，x2，…xs)T≠0，AX=x1α1+x2α2+…+xsαs≠0，故XTBX=XTATAX=‖AX‖2＞0，B为正定矩阵，从而B是正定矩阵的充分必要条件是s≤n。
于是XTBX=XTAX=‖AX‖2=0与B为正定矩阵矛盾。
(2)若s=n，则A为n阶矩阵，而[*]0，故A为可逆矩阵，由B=ATA=ATEA，表明矩阵B与单位矩阵合同，故B为正定矩阵。
(3) 若s＜n，则A的前s行组成s个s维列向量，由范得蒙行列式知其线性无关，从而A的列向最组作为其延伸向量组仍然线性无关，对于任意的X=(x1，x2，…xs)T≠0，AX=x1α1+x2α2+…+xsαs≠0，故XTBX=XTATAX=‖AX‖2＞0，B为正定矩阵，从而B是正定矩阵的充分必要条件是s≤n。
【答案解析】[考点] 正定矩阵的充分必要条件