解答题
21.[2012年] (Ⅰ)证明方程xn+xn-1+…+x=l(n＞1的整数)，在区间(1／2，1)内有且仅有一个实根；(Ⅱ)记(I)中的实根为xn，证明
【正确答案】可用零点定理和命题1．1．7．5证明(Ⅰ)，用夹逼定理证明(Ⅱ)．
证 (Ⅰ)令Fn(x)=xn+xn-1+…+x一1，fn(x)=xn+xn-1+…+x．显然Fn(x)
在[1／2，1]上连续，又Fn(1)=n一1＞0(因n＞1)．
Fn(1／2)=(1／2)n+(1／2)n-1+…+1／2—1=
[(1／2)n-1+(1／2)n-2+…+1]一1
=fn
＜0．
由闭区间上连续函数的零点定理(见定理1．1．7．1)知，在开区间(1／2，1)内，方程Fn(x)=0即
fn(x)=1至少存在一实根．又因
F＇n(x)=nxn-1+(n～1)xn-2+…+l＞0，
其中x∈(1／2，1)，故Fn(x)=fn(x)一1在(1／2，1)内单调．由命题1．1．7．5知，方程Fn(x)=0，
即fn(x)=1在(1／2，1)内仅存在一个实根xn．因而fn(xn)=1．
(Ⅱ)为证
xn存在，并求此极限，对fn(x)在区间[1／2，xn]上使用拉格朗日中值定理
得到：存在ξn∈(1／2，xn)，使得
=f＇n(ξn)，
因f＇n(ξn)=nξn-1+(n一1)ξn-1+…+1＞1(因ξ＞1／2，n＞1)，故
∣fn(xn)一fn(1／2)∣=∣f＇n(ξn)∣∣xn一1／2∣＞∣xn一1／2∣．
而 ∣fn(xn)一fn(1／2)∣=fn(xn)一fn(1／2)=1一[1一(1／2)n]=(1／2)n，
故∣xn一1／2∣＜(1／2)n．由0≤∣xn一1／2∣≤(1／2)n及夹逼定理知
∣xn一1／2∣=0， 即
∣xn∣=1／2．
因而
xn存在，且
证 (Ⅰ)令Fn(x)=xn+xn-1+…+x一1，fn(x)=xn+xn-1+…+x．显然Fn(x)
在[1／2，1]上连续，又Fn(1)=n一1＞0(因n＞1)．
Fn(1／2)=(1／2)n+(1／2)n-1+…+1／2—1=
[(1／2)n-1+(1／2)n-2+…+1]一1=fn
＜0．由闭区间上连续函数的零点定理(见定理1．1．7．1)知，在开区间(1／2，1)内，方程Fn(x)=0即
fn(x)=1至少存在一实根．又因
F＇n(x)=nxn-1+(n～1)xn-2+…+l＞0，
其中x∈(1／2，1)，故Fn(x)=fn(x)一1在(1／2，1)内单调．由命题1．1．7．5知，方程Fn(x)=0，
即fn(x)=1在(1／2，1)内仅存在一个实根xn．因而fn(xn)=1．
(Ⅱ)为证
xn存在，并求此极限，对fn(x)在区间[1／2，xn]上使用拉格朗日中值定理得到：存在ξn∈(1／2，xn)，使得
=f＇n(ξn)，因f＇n(ξn)=nξn-1+(n一1)ξn-1+…+1＞1(因ξ＞1／2，n＞1)，故
∣fn(xn)一fn(1／2)∣=∣f＇n(ξn)∣∣xn一1／2∣＞∣xn一1／2∣．
而 ∣fn(xn)一fn(1／2)∣=fn(xn)一fn(1／2)=1一[1一(1／2)n]=(1／2)n，
故∣xn一1／2∣＜(1／2)n．由0≤∣xn一1／2∣≤(1／2)n及夹逼定理知
∣xn一1／2∣=0， 即∣xn∣=1／2．因而
xn存在，且【答案解析】