解答题
20.设f(x)连续，且∫0xtf(2x－t)dt=
【正确答案】由∫0xtf(2x－t)dt
∫2xx(2x－u)f(u)(－du)
=∫x2x(2x－u)f(u)du=2x∫x2xf(u)du－∫x2xuf(u)du，
得2x∫x2xf(u)du－∫x2xuf(u)du=
arctanx2，等式两边对x求导，得
2∫x2xf(u)du+2x[2f(2x)－f(x)]－4xf(2x)+xf(x)=
，整理得
2∫x2xf(u)du－xf(x)=
，
取x=1，得2∫12f(u)du－f(1)=
，故∫12f(x)dx=
∫2xx(2x－u)f(u)(－du)=∫x2x(2x－u)f(u)du=2x∫x2xf(u)du－∫x2xuf(u)du，
得2x∫x2xf(u)du－∫x2xuf(u)du=
arctanx2，等式两边对x求导，得2∫x2xf(u)du+2x[2f(2x)－f(x)]－4xf(2x)+xf(x)=
，整理得2∫x2xf(u)du－xf(x)=
，取x=1，得2∫12f(u)du－f(1)=
，故∫12f(x)dx=【答案解析】