解答题
18.设∑为不经过原点的光滑封闭曲面，n为∑上任一点(x，y，z)处的单位外法向量，r＝xi＋yj＋zk，计算曲面积分
【正确答案】令n＝｛cosα，cosβ，cosγ｝，其中α，β，γ为n的方向角，则
显然(0，0，0)是它们的奇点．
当(x，y，z)≠(0，0，0)时，
同理，有
则
①若原点(0，0，0)不在封闭曲面∑内，则由高斯公式得
其中Ω是闭曲面∑所围的闭区域．
②若原点(0，0，0)在封闭曲面∑内，则作一个半径为ξ的小球面∑1，取内侧(∑1在∑内)．在∑和∑1所围的封闭区域Ω1上，由高斯公式得
由于在－∑1上恒有x2＋y2＋z2＝ε2，且
与r同向，于是有
即
显然(0，0，0)是它们的奇点．当(x，y，z)≠(0，0，0)时，
同理，有
则①若原点(0，0，0)不在封闭曲面∑内，则由高斯公式得
其中Ω是闭曲面∑所围的闭区域．
②若原点(0，0，0)在封闭曲面∑内，则作一个半径为ξ的小球面∑1，取内侧(∑1在∑内)．在∑和∑1所围的封闭区域Ω1上，由高斯公式得
由于在－∑1上恒有x2＋y2＋z2＝ε2，且
与r同向，于是有即
【答案解析】【思路探索】利用两类曲面积分的关系将已知对面积的曲面积分化为对坐标的组合曲面积分，再根据原点与积分曲面∑的关系便可得结果．