问答题
设f(x)在(－∞，+∞)内连续，以T为周期，试证明：
(1)∫
a
a+T
f(x)dx=∫
0
T
f(x)dx(a为任意实数)；
(2)∫
0
x
f(t)dt以T为周期<=>∫
0
T
f(x)dx=0；
(3)∫f(x)dx(即f(x)的全体原函数)周期为T<=>∫
0
T
f(x)dx=0．
【正确答案】正确答案：(1) ∫
a
a+T
f(x)d=∫
a
0
f(x)dx+∫
0
T
f(x)dx+∫
T
T+a
f(x)dx， 其中∫
T
T+a
f(x)dx=∫
T
T+a
f(x－T)dx
∫
0
a
f(s)ds=∫
0
a
f(x)dx． 代入上式得∫
a
a+T
f(x)=∫
a
0
f(x)dx+∫
0
T
f(x)dx+∫
0
a
f(x)dx=∫
0
T
f(x)dx． (2)∫
0
x
f(t)dt以T为周期<=>∫
0
x+T
f(t)dt－∫
0
x
f(t)dt=∫
x
x+T
f(t)dt
∫
0
a
f(s)ds=∫
0
a
f(x)dx． 代入上式得∫
a
a+T
f(x)=∫
a
0
f(x)dx+∫
0
T
f(x)dx+∫
0
a
f(x)dx=∫
0
T
f(x)dx． (2)∫
0
x
f(t)dt以T为周期<=>∫
0
x+T
f(t)dt－∫
0
x
f(t)dt=∫
x
x+T
f(t)dt
【答案解析】