解答题
设A为实反对称阵，D为对角元全大于零的对角阵，则|A+D|≠0，且还有|A+D|＞0．
【正确答案】
【答案解析】[证] (1)反证．若|A+D|=0，则(A+D)X=0有非零解．设X1是其一个非零解，进而有
．因为A为实反对称阵，所以
，最终得
．但是D=diag(a1，a2，…，an)，ai＞0，所以
，矛盾．所以，|A+D|≠0．
(2)反证．令f(x)=|xA+D|，x∈[0，1]．
假设|A+D|＜0，因为f(0)=|D|＞0，f(1)=|A+D|＜0，由零值定理可知，存在x0∈(0，1)，使得f(x0)=|x0A+D|=0．但是
其中
为对角元全大于零的对角阵，由(1)知
．因为A为实反对称阵，所以，最终得．但是D=diag(a1，a2，…，an)，ai＞0，所以，矛盾．所以，|A+D|≠0．(2)反证．令f(x)=|xA+D|，x∈[0，1]．
假设|A+D|＜0，因为f(0)=|D|＞0，f(1)=|A+D|＜0，由零值定理可知，存在x0∈(0，1)，使得f(x0)=|x0A+D|=0．但是
其中
为对角元全大于零的对角阵，由(1)知