解答题
22.设二次型xTAx＝ax12＋2x22－x32＋8x1x2＋2bx1x3＋2cx2x3，实对称矩阵A满足AB＝0，其中B＝
【正确答案】(Ⅰ)二次型对应的实对称矩阵为A＝
，因为AB＝0，所以
，
从而
解得
下求A的特征值有
，
得A的特征值为0，6，﹣6。
当λ＝0时，求解线性方程组(0E－A)x＝0，解得α1＝(1，0，1)T；
当A＝6时，求解线性方程组(6E－A)x＝0，解得α2＝(﹣1，﹣2，1)T；
当λ＝﹣6时，求解线性方程组(﹣6E－A)X＝0，解得α3＝(﹣1，1，1)T。
将α1，α2，α3单位化得
。
令 Q＝(β1，β2，β3)，
，
则二次型在正交变换x＝Qy下的标准形为f＝6y22－6y32，其中
，因为AB＝0，所以，从而
解得
下求A的特征值有
，得A的特征值为0，6，﹣6。
当λ＝0时，求解线性方程组(0E－A)x＝0，解得α1＝(1，0，1)T；
当A＝6时，求解线性方程组(6E－A)x＝0，解得α2＝(﹣1，﹣2，1)T；
当λ＝﹣6时，求解线性方程组(﹣6E－A)X＝0，解得α3＝(﹣1，1，1)T。
将α1，α2，α3单位化得
。令 Q＝(β1，β2，β3)，
，则二次型在正交变换x＝Qy下的标准形为f＝6y22－6y32，其中
【答案解析】