简答题
10.已知矩阵B=(1，2，3)，C=
【正确答案】(方法一)由题意知
根据矩阵乘法的结合律有An=BTCBTCBTC…BTC=BT(CBT)(CBT)…(CBT)C=3n－1BTC=
(方法二)A=BTC=
，所以矩阵A的秩为1。所以A的特征值为λ1，0，0，则λ1+0+0=1+1+1(矩阵特征值的和等于矩阵的迹)，即λ1=3。
对λ1=3，由(3E－A)x=0，求得基础解系α1=(1，2，3)T；
对A的特征值λ12=0(二重)，由(0E－A)x=0，求得基础解系α2=(0，2，－3)T，α3=(1，0,－3)T。
矩阵P=(α1，α2，α3)=
的秩为3。故A=P
P－1．所以An=P
P－1=
根据矩阵乘法的结合律有An=BTCBTCBTC…BTC=BT(CBT)(CBT)…(CBT)C=3n－1BTC=
(方法二)A=BTC=
，所以矩阵A的秩为1。所以A的特征值为λ1，0，0，则λ1+0+0=1+1+1(矩阵特征值的和等于矩阵的迹)，即λ1=3。对λ1=3，由(3E－A)x=0，求得基础解系α1=(1，2，3)T；
对A的特征值λ12=0(二重)，由(0E－A)x=0，求得基础解系α2=(0，2，－3)T，α3=(1，0,－3)T。
矩阵P=(α1，α2，α3)=
的秩为3。故A=PP－1．所以An=PP－1=【答案解析】