【答案解析】证：设λ是A的特征值，由于A ² =A，所以λ ² =λ，且A有两个不同的特征值，从而A的特征值为0和1．
又因为A ² =A，即A(A-E)=0，故r(A)+r(A-E)=n．事实上，因为A(A-E)=0，所以
r(A)+r(A-E)≤n．
另一方面，由于E-A与A-E的秩相同，则有
n=r(E)=r[(E-A)+A]≤r(A)+(E-A)=r(A)+r(A-E)，
从而
r(A)+r(A-E)=n．
当λ=1时，因为r(A-E)=n-r(A)=n-s，从而齐次线性方程组(E-A)x=0的基础解系含有s个解向量，因此，A属于特征值1有s个线性无关特征向量，记为η ₁ ，η ₂ ，…，η _s ．
当λ=0时，因为r(A)=s，从而齐次线性方程组(0·E-A)x=0的基础解系含n-s个解向量．因此，A属于特征值0有n-s个线性无关的特征向量，记为η _s+1 ，η _s+2 ，…，η _n ．
于是η ₁ ，η ₂ ，…，η _n 是A的n个线性无关的特征向量，所以A可对角化，并且对角阵为

【答案解析】解：令P=(η ₁ ，η ₂ ，η ₃ ，…，η _n )，则 ，所以