解答题
33.[2006年] 设数列{xn}满足0＜x1＜π，xn+1=sinxn(n=1，2，…)．证明
【正确答案】由于当0＜x＜π时，0＜sinx＜x，由0＜x1＜π有0＜x2=sinx1＜x1＜π，进一步有0＜xn+1=sinxn＜xn＜π(n=1，2，…)，则数列{xn}有界．
又
(因xn＞0)，则xn+1＜xn，可见数列{xn}单调减少．由单调减少有下界的数列必有极限知，极限
xn存在．记为a．在xn+1=sinxn两边取极限得到a=sina(0≤a≤π)．显然a=0满足此式．除a=0外，若还有b≠0，0＜b≤π也满足b=sinb，则φ(x)=x—sinx存在两点x=a，x=b(a≠b)，使φ(A)=φ(B)=0．由罗尔定理知，存在介于a与b之间的ξ使φ'(ξ)=1-cosξ=0，0＜ξ＜π这是不可能的．故仅一点x=a=0使x=sinx，即
又
(因xn＞0)，则xn+1＜xn，可见数列{xn}单调减少．由单调减少有下界的数列必有极限知，极限xn存在．记为a．在xn+1=sinxn两边取极限得到a=sina(0≤a≤π)．显然a=0满足此式．除a=0外，若还有b≠0，0＜b≤π也满足b=sinb，则φ(x)=x—sinx存在两点x=a，x=b(a≠b)，使φ(A)=φ(B)=0．由罗尔定理知，存在介于a与b之间的ξ使φ'(ξ)=1-cosξ=0，0＜ξ＜π这是不可能的．故仅一点x=a=0使x=sinx，即【答案解析】