解答题
20.设a1=2，an+1=
(n=1，2，…)．证明：
(1)
an存在；
(2)级数
(n=1，2，…)．证明：(1)
an存在；(2)级数
【正确答案】(1)因为an+1=
≥1，又an+1-an=
≤0
所以{an}n=1∞单调减少，而an≥0，即{an}n=1∞是单调减少有下界的数列，根据极限存在准则，
an存在．
(2)由(1)得0≤
≤an-an+1，
对级数
(an-an+1)，Sn=(a1-a2)+(a2-a3)+…+(an-an+1)=2-an+1，
因为
Sn=2-
an存在，所以级数
(an-an+1)收敛，根据比较审敛法，级数
≥1，又an+1-an=≤0所以{an}n=1∞单调减少，而an≥0，即{an}n=1∞是单调减少有下界的数列，根据极限存在准则，
an存在．(2)由(1)得0≤
≤an-an+1，对级数
(an-an+1)，Sn=(a1-a2)+(a2-a3)+…+(an-an+1)=2-an+1，因为
Sn=2-an存在，所以级数(an-an+1)收敛，根据比较审敛法，级数【答案解析】