解答题
21.设f〞(χ)∈C[a，b]，证明：存在ξ∈(a，b)，使得∫abf(χ)dχ－(b－a)
【正确答案】令F(χ)＝∫aχ(t)dt，则F′(χ)＝f(χ)，且F″′(χ)∈C[a，b]．由泰勒公式得
其中ξ2∈
两式相减，得F(b)－F(a)＝(b－a)
．
因为f〞(χ)∈C[a，b]，所以f〞(χ)∈C[ξ1，ξ2]，由闭区间上连续函数最值定理，f〞(χ)在区间[ξ1，ξ2]上取得最小和最大值，分别记为m，M，则有
m≤
≤M
再由闭区间上连续函数的介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2]
(a，b)，使得f〞(ξ)＝
，从而有
其中ξ2∈
两式相减，得F(b)－F(a)＝(b－a)
．因为f〞(χ)∈C[a，b]，所以f〞(χ)∈C[ξ1，ξ2]，由闭区间上连续函数最值定理，f〞(χ)在区间[ξ1，ξ2]上取得最小和最大值，分别记为m，M，则有
m≤
≤M再由闭区间上连续函数的介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2]
(a，b)，使得f〞(ξ)＝，从而有【答案解析】