解答题
22.设实对称矩阵
【正确答案】矩阵A的特征多项式为
由此得矩阵A的特征值λ1=λ2=a+1，λ3=a-2．
对于特征值λ1=λ2=a+1，可得对应的两个线性无关的特征向量
α1=(1，1，0)T，α2=(1，0，1)T．
对于特征值λ3=a-2，可得对应的特征向量
α3=(-1，1，1)T．
令矩阵
则
由此得矩阵A的特征值λ1=λ2=a+1，λ3=a-2．
对于特征值λ1=λ2=a+1，可得对应的两个线性无关的特征向量
α1=(1，1，0)T，α2=(1，0，1)T．
对于特征值λ3=a-2，可得对应的特征向量
α3=(-1，1，1)T．
令矩阵
则
【答案解析】本题主要考查的知识点是把实对称矩阵化为对角矩阵的方法，矩阵特征值、特征向量的求法及相似矩阵的性质．由题设可求出矩阵A的3个线性无关的特征向量，于是可求出可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵．由可知只要求出对角矩阵P-1AP，就可以计算出｜A-E｜．