在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点P(χ，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与χ轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与χ轴平行．
【正确答案】正确答案：设所求曲线为y＝y(χ)，该曲线在点P(χ，y)的法线方程为 Y－y＝－
(X－χ)(y′≠0) 令Y＝0，得X＝χ＋yy′，该点到χ轴法线段PQ的长度为
由题意得
，即yy〞＝1＋y
′2
． 令y′＝p，则y〞＝
，则有
＝1＋p
2
，或者
，两边积分得y＝
，由y(1)＝1，y′(1)＝0得C
1
＝1，所以y′＝
，变量分离得
＝±dy，两边积分得ln(y＋
)＝±χ＋C
2
，由y(1)＝1得C
2
＝
，
两式相加得y＝
(X－χ)(y′≠0) 令Y＝0，得X＝χ＋yy′，该点到χ轴法线段PQ的长度为
由题意得
，即yy〞＝1＋y
′2
． 令y′＝p，则y〞＝
，则有
＝1＋p
2
，或者
，两边积分得y＝
，由y(1)＝1，y′(1)＝0得C
1
＝1，所以y′＝
，变量分离得
＝±dy，两边积分得ln(y＋
)＝±χ＋C
2
，由y(1)＝1得C
2
＝
，
两式相加得y＝
【答案解析】