问答题
设直线L过A(1，0，0)，B(0，1，1)两点，将L绕z轴旋转一周得到曲面∑．∑与平面z=0，x=2所围成的立体为Ω．
问答题
求曲面∑的方程；
【正确答案】直线L的方程为[*]，写成参数式为
[*](t为参数).
设(x，y，z)为曲面∑上的任一点，则
[*]
所以曲面∑的方程为x2+y2-2z2+2z=1．
[*](t为参数).
设(x，y，z)为曲面∑上的任一点，则
[*]
所以曲面∑的方程为x2+y2-2z2+2z=1．
【答案解析】
问答题
求Ω的形心坐标．
【正确答案】设Ω的形心坐标为[*]，根据对称性，得[*]．
[*]
其中Dz={(x，y)｜x2+y2≤2z2-2z+1}．
所以
[*]
所以 [*]
故Ω的形心坐标为(0，0，[*]).
[*]
其中Dz={(x，y)｜x2+y2≤2z2-2z+1}．
所以
[*]
所以 [*]
故Ω的形心坐标为(0，0，[*]).
【答案解析】本题主要考查空问直线绕z轴旋转所得旋转面的方程，空间体形心的计算及三重积分的计算．
问答题
设∑为曲面z=x2+y2(z≤1)的上侧，计算曲面积分
【正确答案】解 设S为平面z=1包含在曲面z=x2+y2之内部分的下侧，则
[*]
注意到Ω关于yOz面和zOx面都对称，则
[*](柱坐标)
[*]
则 I=-4π
[*]
注意到Ω关于yOz面和zOx面都对称，则
[*](柱坐标)
[*]
则 I=-4π
【答案解析】本题主要考查二型面积法的计算、高斯公式及三重积分的计算．