结构推理
设矩阵A
m×n
，B
n×p
满足AB=O.试证：r(A)+r(B)≤n.
【正确答案】
证 设B按列分块为B=[β
1
β
2
…β
p
]，则有
O=AB=[Aβ
1
Aβ
2
…Aβ
p
]
上式可写成Aβ
j
=0(j=1，2，…，P)，即矩阵B的每一列都是齐次线性方程组Ax=0的解向量.因此向量组{β
1
，β
2
，…，β
p
}是方程组Ax=0的解集合的子集合.由于n元齐次线性方程组Ax=0的解空间的维数为n-r(A)，所以有
r(B)=r(β
1
，β
2
，…，β
p
)≤n-r(A)
于是有 r(A)+r(B)≤n.
【答案解析】
本题的结论或其证明思想，在讨论矩阵的秩的有关问题时是有用的，如下例.
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