解答题
4.设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，∫abf(x)dx=0．证明：
(1)存在c∈(a，b)，使得f(c)=0；
(2)存在ξi∈(a，b)(i=1，2)，且ξ1≠ξ2，使得f'(ξi)+f(ξi)=0(i=1，2)；
(3)存在ξ∈(a，b)，使得f''(ξ)=f(ξ)；
(4)存在η∈(a，b)，使得f''(η)-3f'(η)+2f(η)=0．
(1)存在c∈(a，b)，使得f(c)=0；
(2)存在ξi∈(a，b)(i=1，2)，且ξ1≠ξ2，使得f'(ξi)+f(ξi)=0(i=1，2)；
(3)存在ξ∈(a，b)，使得f''(ξ)=f(ξ)；
(4)存在η∈(a，b)，使得f''(η)-3f'(η)+2f(η)=0．
【正确答案】(1)令F(x)=∫axf(t)dt，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F'(x)=f(x)．故存在c∈(a，b)，使得
∫abf(x)dx=F(b)=F(a)=F'(c)(b-a)=f(c)(b-a)=0，即f(c)=0．
(2)令h(x)=exf(x)，因为h(a)=h(c)=h(b)=0，所以由罗尔定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h'(ξ1)=h'(ξ2)=0，而h'(x)=ex[f'(x)+f(x)]且ex≠0，所以f'(ξi)+f(ξi)=0(i=1，2)．
(3)令φ(x)=e-x[f'(x)+f(x)]，φ(ξ1)=φ(ξ2)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)
(a，b)，使得φ'(ξ)=0，而φ'(x)=e-x[f''(x)-f(x)]且e-x≠0，所以f''(ξ)=f(ξ)．
(4)令g(x)=e-xf(x)，g(a)=g(c)=g(b)=0，
由罗尔定理，存在η1∈(a，c)，η2∈(c，b)，使得g'(η1)=g'(η2)=0，而g'(x)=e-x[f'(x)-f(x)]且e-x≠0，所以f'(η1)-f(η1)=0，f'(η2)-f(η2)=0．
令φ(x)=e-2x[f'(x)-f(x)]，φ(η1)=φ(η2)=0，
由罗尔定理，存在η∈(η1，η2)
∫abf(x)dx=F(b)=F(a)=F'(c)(b-a)=f(c)(b-a)=0，即f(c)=0．
(2)令h(x)=exf(x)，因为h(a)=h(c)=h(b)=0，所以由罗尔定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h'(ξ1)=h'(ξ2)=0，而h'(x)=ex[f'(x)+f(x)]且ex≠0，所以f'(ξi)+f(ξi)=0(i=1，2)．
(3)令φ(x)=e-x[f'(x)+f(x)]，φ(ξ1)=φ(ξ2)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)
(a，b)，使得φ'(ξ)=0，而φ'(x)=e-x[f''(x)-f(x)]且e-x≠0，所以f''(ξ)=f(ξ)．(4)令g(x)=e-xf(x)，g(a)=g(c)=g(b)=0，
由罗尔定理，存在η1∈(a，c)，η2∈(c，b)，使得g'(η1)=g'(η2)=0，而g'(x)=e-x[f'(x)-f(x)]且e-x≠0，所以f'(η1)-f(η1)=0，f'(η2)-f(η2)=0．
令φ(x)=e-2x[f'(x)-f(x)]，φ(η1)=φ(η2)=0，
由罗尔定理，存在η∈(η1，η2)
【答案解析】