解答题
10.[2008年] 设f(x)是区间[0，+∞)上具有连续导数的单调增加函数，且f(0)=1．对任意t∈[0，+∞)，由直线x=0，x=t，曲线y=f(x)以及z轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体．若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数f(x)的表达式．
【正确答案】先写出旋转体体积及其侧面积表示式，依题意建立f(x)所满足的方程，求导可得到f(x)满足的微分方程，解之即可得到f(x)的表达式．
旋转体的体积V=π∫0tf2(x)dx，侧面面积为S=2π∫01f(x)
,
由题设条件有
∫0tf2(x)dx=∫0tf(x)
dx，
上式两边对t求导，得到
f2(t)=f(t)
，即 y′=
， 亦即
=dx．
两边积分得到ln(y+
)=t+C．由y(0)=1得C=0，故y+
旋转体的体积V=π∫0tf2(x)dx，侧面面积为S=2π∫01f(x)
,由题设条件有
∫0tf2(x)dx=∫0tf(x)
dx，上式两边对t求导，得到
f2(t)=f(t)
，即 y′=， 亦即=dx．两边积分得到ln(y+
)=t+C．由y(0)=1得C=0，故y+【答案解析】