解答题
5.设实二次型f(x1，x2，x3)=(x1－x2+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2，其中a是参数．
(1)求f(x1，x2，x3)=0的解；
(2)求f(x1，x2，x3)的规范形．
(1)求f(x1，x2，x3)=0的解；
(2)求f(x1，x2，x3)的规范形．
【正确答案】(1)f(x1，x2，x3)=0
对上面这个齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换：
可见当a－2≠0，即a≠2时，该方程组只有零解x=0，即方程f=0只有零解x=0；
当a=2时，由
得方程组的通解、即方程f(x1，x2，x3)=0的解为
(2)由(1)知当a≠2时，f是正定的，因此f的规范形是f=y12+y22+y32；
当a=2时，对f配方得
f=2(x1－
x3)2+
对上面这个齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换：
可见当a－2≠0，即a≠2时，该方程组只有零解x=0，即方程f=0只有零解x=0；
当a=2时，由
得方程组的通解、即方程f(x1，x2，x3)=0的解为
(2)由(1)知当a≠2时，f是正定的，因此f的规范形是f=y12+y22+y32；
当a=2时，对f配方得
f=2(x1－
x3)2+【答案解析】