问答题
已知α
1
，α
2
及β
1
，β
2
均是3维线性无关向量组．
问答题
若γ不能由α
1
，α
2
线性表出，证明α
1
，α
2
，γ线性无关．
【正确答案】
【答案解析】证 设有数k
1
，k
2
，k
3
，使得k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
γ=0，
其中k 3 =0(若k 3 ≠0，则
其中k 3 =0(若k 3 ≠0，则
问答题
证明存在三维向量δ，δ不能由α
1
，α
2
线性表出，也不能由β
1
，β
2
线性表出．
【正确答案】
【答案解析】证 α
1
，α
2
是2个3维向量，不可能表出所有3维向量，β
1
，β
2
也一样．若δ不能由α
1
，α
2
线性表出，也不能由β
1
，β
2
线性表出，则δ即为所求．
现设δ 1 不能由α 1 ，α 2 线性表出，但可由β 1 ，β 2 线性表出，设为δ 1 =x 1 β 1 +x 2 β 2 ；
设δ 2 不能由β 1 ，β 2 表出，但可由α 1 ，α 2 线性表出，设δ 2 =y 1 α 1 +y 2 α 2 ，
则向量δ=δ 1 +δ 2 既不能由α 1 ，α 2 线性表出，也不能由β 1 ，β 2 线性表出，向量δ即为所求．
因若δ=δ 1 +δ 2 =k 1 δ 1 +k 2 α 2 ，
则δ 1 =δ-δ 2 =(k 1 -y 1 )α 1 +(k 2 -y 2 )α 2 ，这和δ 1 不能由α 1 ，α 2 线性表出矛盾．
(或δ 2 =δ-δ 1 =(k 1 -x 1 )β 1 +(k 2 -x 2 )β 2 ，这和δ 2 不能由β 1 ，β 2 线性表出矛盾)
现设δ 1 不能由α 1 ，α 2 线性表出，但可由β 1 ，β 2 线性表出，设为δ 1 =x 1 β 1 +x 2 β 2 ；
设δ 2 不能由β 1 ，β 2 表出，但可由α 1 ，α 2 线性表出，设δ 2 =y 1 α 1 +y 2 α 2 ，
则向量δ=δ 1 +δ 2 既不能由α 1 ，α 2 线性表出，也不能由β 1 ，β 2 线性表出，向量δ即为所求．
因若δ=δ 1 +δ 2 =k 1 δ 1 +k 2 α 2 ，
则δ 1 =δ-δ 2 =(k 1 -y 1 )α 1 +(k 2 -y 2 )α 2 ，这和δ 1 不能由α 1 ，α 2 线性表出矛盾．
(或δ 2 =δ-δ 1 =(k 1 -x 1 )β 1 +(k 2 -x 2 )β 2 ，这和δ 2 不能由β 1 ，β 2 线性表出矛盾)